Đề thi thử Tốt nghiệp Trung học Phổ thông môn Toán Lớp 12 - Đề số 4 - Năm học 2024-2025 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi thử Tốt nghiệp Trung học Phổ thông môn Toán Lớp 12 - Đề số 4 - Năm học 2024-2025 (Có đáp án)

1. ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2024-2025 ĐỀ VIP 04 MÔN THI: TOÁN PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số yx 4 là: 1 A. xC5 B. 4xC3 C. xC5 D. 5xC5 5 Câu 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường yx 2 2 , y 1, x 0 và x 1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 A. S 2 x2 1 d x . B. S 2 x2 1 d x . 0 0 1 1 2 C. S 2 x2 1 d x . D. S 2 x2 1 d x . 0 0 Câu 3: Bảng dưới biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày của một số người. Thời gian [30;60) [60;90) [90;120) [120;150) [150;180) (phút) Số người 2 4 10 5 3 Mốt của bảng số liệu trên thuộc nhóm nào? A. [90;120). B. [120;150) . C. [60;90) . D. [150;180) . Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A 1;2; 3 có vectơ pháp tuyến n 2; 1;3 là A. 2x y 3 z 9 0. B. 2x y 3 z 4 0. C. xy 2 4 0. D. 2x y 3 z 4 0. Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Câu 6: Nghiệm của phương trình 3x 2 27 là A. x 2. B. x 1. C. x 2. D. x 1.
2. Câu 7: Trong hệ trục tọa độ Oxyz .Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x 2 y 1 z 3 3 2 1 A. u 2;1; 3 . B. u 3;2;1 . C. u 3; 2;1 . D. u 2;1;3 . Câu 8: Trong không gian cho khối chóp có diện tích đáy B 3 và chiều cao h 4. Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 6 . B. 12. C. 36. D. 4 . Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình logx 1 là A. 10; . B. 0; . C. 10; . D. ;10 . Câu 10: Cho cấp số nhân un với u1 2 và công bội q 3 . Giá trị của u2 bằng 2 A. 6 . B. 9 . C. 8 . D. . 3 Câu 11. Trong không gian, cho hình hộp ABCD A B' C D . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. AC'' AB AD AA . B. BD BA BC BB'. C. CA'' CB CD CC . D. CACBCD'''''' . Câu 12: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 4. PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai. xx2 32 Câu 1: Cho hàm số y . Các mệnh đề sau đúng hay sai? xx42 32 a) Đường thẳng x 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. b) Đường thẳng y 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. c) Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang, 2 tiệm cận đứng. d) Đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Câu 2: Cho hình chóp ABCD có AB,, AC AD đôi một vuông góc, cạnh AB AC a, M là trung điểm của CB , H là trung điểm của MD . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? 1 a) DM BD CD . 2 11 b) AH AD AB AD . 24 a2 c) AB. AH . 4 d) Góc giữa vectơ AH và BC bằng 60.
3. Câu 3: Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh nam. Biết tỷ lệ học sinh biết bơi trong số học sinh nam là 60% và tỷ lệ học sinh biết bơi trong số học sinh nữ là 50% . Chọn ngẫu nhiên một học sinh. 3 a) Xác suất học sinh được chọn là nam bằng . 5 b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi, biết học sinh này là nam bằng . 1 c) Biết học sinh được chọn là học sinh biết bơi thì xác suất học sinh đó là học sinh nam bằng 4 . 6 d) Xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết bơi là . 11 23x Câu 4: Cho các hàm số fx xác định trên tập D \0  . x Các mệnh đề sau đúng hay sai? 3 a. Hàm số fx là một nguyên hàm của hàm số gx trên D. x2 b. Hàm số F x 2 x 3ln x C là họ các nguyên hàm của hàm số fx . c. Cho F 15 , khi đó F x 2 x 3ln x 3. d. Gx là một nguyên hàm của hàm số xf x thỏa mãn G 14 . Khi đó G 22 . PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc 300 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng m.; a m . Giá trị m là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Câu 2: Độ pH của một dung dịch là đại lượng đặc trưng cho mức độ acid, base của một dung dịch. pH liên hệ trực tiếp với nồng độ H+ thông qua biểu thức sau: + . pH log10 H + + - Trong đó: H(/)mol L : là nồng độ của ion H có trong dung dịch cần xét. Hơn nữa: 10 14 pH log10 [OH ] - Trong đó: OH (mol / L ) : là nồng độ của ion OH có trong dung dịch cần xét. Xét thí nghiệm hóa học dưới đây: Người ta muốn xác định độ pH của một dung dịch bằng cách trộn 0, 2 L dung dịch H2SO4 có n 0,02mol với 0,5 L dung dịch NaOH có nNaOH 0,06 mol . Tính độ pH của dung H24 SO dịch tạo thành (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Câu 3: Một ông chủ nhà muốn làm một cái thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dài ngắn nhất của cây thang bao nhiêu mét để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)?
4. Câu 4: Một nhà xuất bản sách muốn đưa ra thị trường một quyển sách Toán. Biết một trang giấy của một quyển sách Toán có dạng hình chữ nhật. Phần in chữ (hình ảnh) trên trang giấy đó cần diện tích là 337,5cm2 . Biết lề trên, lề dưới của trang giấy là 3 cm; lề phải, lề trái của trang giấy là 2 cm. Để tiết kiệm chi phí in ấn và giấy nên nhà xuất bản yêu cầu diện tích trang giấy là nhỏ nhất. Khi đó, quyển sách dày 100 tờ bao gồm cả bìa, mỗi tờ (trừ tờ bìa) đều in 2 mặt. + Giá bìa màu: 2.000 đồng/ trang. + Giá in ấn: 2.000 đồng/ m2 . + Giá giấy: 1.300 đồng/ . Với giá gốc (giá sách ban đầu) chỉ chiếm 20% giá bán của sách. Khi đó giá bán mỗi quyển sách tối thiểu là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn đến đơn vị hàng nghìn). Câu 5: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Khi đó giá tiền mỗi viên gạch được tính bằng giá tiền in màu lên nền gạch: Giá tiền in màu 4 cánh hoa là 30.000 đồng trên 1000 cm2 , và phần màu trắng (còn lại) là 15.000 đồng trên 1000 . Một nền nhà diện tích 60m2 lát toàn bộ gạch hoa trên thì số tiền mua đủ số gạch là bao nhiêu triệu đồng. y 1 y = x2 20 y = 20x 20 x 20 20 20 Câu 6: Từ tập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn một số bất kì trong tập số trên. Xác suất để số chọn ra thỏa mãn: Trong 4 chữ số của số đó chỉ một chữ số xuất hiện đúng hai lần (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
5. ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2024-2025 ĐỀ VIP 04 MÔN THI: TOÁN PHẦN ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiyx ều4 phương án lựa chọn 1A1 2D 3A 4A 5A 6D 7B 8D 9C 10A 11B 12D xC5 4xC3 xC5 5xC5 PHẦ5 N II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Câu 1 2 3 4 2 a) S Đ Đ yx Đ2 y 1 x 0Đ x 1 b) S S Đ Đ 1 1 c)S 2 x2 S 1 d x Đ S S 2 x2 1 d x Đ d) 0 Đ S Đ0 S Phần III.1 Câu hỏi trả lời ngắn 1 2 2 2 S 2 x 1 d x CÂU ĐÁP ÁNS 2 x 1 d x 0 0 1 0,43 2 12,9 3 5,47 4 0121 5 9,60 6 0,43 LỜI GIẢI CHI TIẾT PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số là: A. B. C. D. Lời giải 1 Ta có xx4d xC5 . 5 Câu 2: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và được tính bởi công thức nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải 11 Diện tích hình phẳng cần tìm là S 2 x22 1 d x 2 x 1 d x do 2x2 1 0  x 0;1. 00 Câu 3: Bảng dưới biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày của một số người.
6. Thời gian (phút) Số người 2 4 10 5 3 Mốt của bảng số liệu trên thuộc nhóm nào? A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có: nhóm có tần số bằng 10. Khi đó mốt của bảng số liệu trên thuộc nhóm . Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ phương trình mặt phẳng đi qua điểm có vectơ pháp tuyến là A. . B. . C. . D. . Lời giải Phương trình mặt phẳng đi qua điểm có véc tơ pháp tuyến là 2.x 1 1. y 2 3. z 3 0 [30;60) [60;90) [90;120) [120;150) [150;180) 2x 2 y 2 3 z 9 0 2x y 3 z 9 0. Câu 5: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau [90;120) [120;150) [60;90) [150;180) Oxyz, A 1;2; 3 n 2; 1;3 2x y 3 z 9 0 2x y 3 z 4 0 xy 2 4 0 2x y 3 z 4 0 y f x Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. B. C. D. Lời giải Từ bảng biến thiên ta có: lim y nên đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1 limyy 2, lim 5 nên đường thẳng y 2 và y 5 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị xx hàm số Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3 Câu 6: Nghi3 ệm của phương trình 2 là 4 1 A. . B.3 x 2 27. C. . D. . x 2 x 1 Lời giải x 2 x 1 Ta có 3xx 2 27 3 2 3 3 xx 2 3 1.
7. Câu 7: Trong hệ trục tọa độ Oxyz .Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng x 2 y 1 z 3 3 2 1 A. u 2;1; 3 . B. u 3;2;1 . C. u 3; 2;1 . D. u 2;1;3 . Lời giải B 3 h 4 Vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 3; 2; 1 1 3;2;1 nên u1 3;2;1 cũng là 6 12 36 4 một vectơ chỉ phương của đường thẳng. logx 1 Câu 8: Trong 10; không gian cho khối chóp 0; có diện tích đáy 10; và chiều cao . Th;10ể tích của khối chóp đã cho bằng A. . un B.u 1 .2 q C.3 . u2 D. . Lời giải 2 6 9 8 11 3 Ta có công thức thể tích khối chóp V . B . h .3.4 4 . ABCD33 A B' C D Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình là AC'' AB AD AA . BD BA BC BB'. A. . B. . C. . D. . CA'' CB CD CC . CACBCD'''''' . Lời giải y f x Ta có logxx 1 10. Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 10; . Câu 10: Cho cấp số nhân với và công bội . Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có u21 u q 2.3 6 . Câu 11. Trong không gian, cho hình hộp . Đẳng thức nào sau đây sai? A. B. C. D. Lời giải Đáp án A đúng theo quy tắc hình hộp Đáp án C đúng theo quy tắc hình hộp Đap án D đúng theo quy tắc hình bình hành Đáp án B sai. Câu 12: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
8. A. . B. . C. . D. . Lời giải Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 4. PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Câu 1: Cho hàm số . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) Đường thẳng là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. b) Đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. c) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang, tiệm cận đứng. d) Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận. Lời giải a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng Điều kiện x ; 2  1;1  2; . 32 2 1 xx 32 2 Vì limyy lim lim limxx 1 nên y 1 là đường tiệm cận x x x 42 x 32 xx 32 1 xx24 ngang của đồ thị hàm số. Vì lim y nên x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Vì limy lim lim 0 nên x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vì 2lim y nên x 1 là 3đường tiệm cận đứng củ0a đồ thị hàm số. 4 x 1 Vì lim y nên x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 xx2 32 Câu 2: Cho hình chópy ABCD có AB,, AC AD đôi một vuông góc, cạnh AB AC a, M là trung điểm xx42 32 của CB , H là trung điểm của MD . Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai? x 1 1 a) DM BDy CD2 . 2 11 2 2 b) AH AD AB AD . 24 4 a2 c) AB. AH . 4 d) Góc giữa vectơ AH và BC bằng 60. Lời giải
9. 50 30 60% 50% 3 5 a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai a) Đúng. DB DC BD CD DM DM 2 2 b) Sai. AB AC AM AD AB AC AD AH , AM AH 2 2 2 2 AD AB AC AH 24 c) Đúng. AD AB AC AB.D.. A AB AB AB AC AB22 a AB. AH AB .( ) 24 2444 d) Sai. AD AB AC BC AC AB , AH 24 AD AB AC Vậy BC. AH ( AC AB ).( ) 24 AC.D..... A AC AB AC AC AD AB AB AB AB AC BC. AH 2 4 2 4 AC.. AC AB AB BC.0 AH . 44 Vậy góc giữa vectơ và bằng 90. BC AM  ° (Giải cách khác:  BC  ACM BC  AH AH, BC 90 BC AD  Câu 3: Một lớp học có học sinh, trong đó có học sinh nam. Biết tỷ lệ học sinh biết bơi trong số học sinh nam là AH và tỷBC lệ học sinh biết bơi trong số học sinh nữ là . Chọn ngẫu nhiên một học sinh. a) Xác suất học sinh được chọn là nam bằng . b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi, biết học sinh này là nam bằng .
10. c) Biết học sinh được chọn là học sinh biết bơi thì xác suất học sinh đó là học sinh nam bằng . d) Xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết bơi là . Lời giải a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng Gọi A là biến cố “học sinh được chọn là học sinh nam" thì A là biến cố “học sinh được chọn 1là học sinh nữ"; 4 B là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh biết bơi" thì B là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh không biết bơi". 6 Theo giả thiết ta có: 11 30 3 23x 50 30 2 PA vàfx PA . D \0  50 5 x 50 5 3 1 PBA ∣ 60% và PBA∣ 50% . 5 2 3 fx gx 3 x2 a) Xác suất học sinh được chọn là nam bằng PA . F x 2 x 3ln x C 5 fx 3 b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi, biết học sinh này là nam bằng PBA ∣ 5 . c) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết bơi là 3 3 1 2 14 PBPBAPAPBAPA ∣∣   ; 5 5 2 5 25 Học sinh được chọn là học sinh biết bơi thì xác suất học sinh đó là học sinh nam bằng 33  PBAPA ∣ 9 PAB ∣ 55 . PB 14 14 25 3 32 d) Vì PBA ∣ nên PBAPBA∣∣ 11 . 5 55 14 11 Mặt khác, PB nên PB . 25 25 Do đó, theo công thức Bayes, xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết bơi là 23  PBAPA ∣ 6 PAB ∣ 55 . PB 11 11 25 Câu 4: Cho các hàm số xác định trên tập . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên D. b. Hàm số là họ các nguyên hàm của hàm số .
11. c. Cho , khi đó . d. là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Khi đó . Lời giải a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai 3 a) Ta có f x g x ,  x D . Vậy hàm số là một nguyên hàm của hàm số gx x2 trên D. Chọn đúng. 2x 3 3 b) Ta có Fx fxdx dx 2 dxx 2 3ln xC . Chọn đúng. xx c) Vì FCC 1 5 2.1 3ln1 5 3 . Vậy F x 2 x 3ln x 3 . Chọn đúng. 23x 2 d) Vì Gx xfxdx x dx 2 x 3 dxx 3 xC , và x G 1 4 1 3.1 C 4 C 6 G x x2 3 x 6 . Vậy G 24 . Chọn sai. PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. fx Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , mặt bên tạo với đáy một góc . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Giá trị là bao nhiêu (làm tròn đếnF ch 15ữ số thập phânF th ứ x 2). 2 x 3ln x 3 Lời giải Gx xf x G 14 G 22 S Gọi MN , lần lượt là trung điểm AC và BC . Suy ra H  AN BM là tâm của tam giác đều ABC . Vì S. ABC S. ABC là hình chópa đều nên SH ABC . 300 A Ta có SBC d A, SBCm .; a m 3 d H , SBC m Kẻ HK SN K SN . 1 BC HN A M C Ta có BC  SHN BC  HK . 2 K BC SH H N Từ 1 và 2 , suy ra HK SBC nên B d H, SBC HK . BC AN Vì BC  SAN BC  SN . BC SH SBC  ABC BC Do SN SBC , SN BC suy ra 300 SBC , ABC SN , AN SNA SNH . AN ABC , AN BC AN a 3 a Trong tam giác vuông SHN , ta có HN suy ra SH HN.tan SNH . 36 6 SH. HN a 3 Trong tam giác vuông SHN , ta có HK . SH22 HN 12 a 3 Vậy d A, SBC 3 HK 0,43 a . 4
12. Câu 2: Độ pH của một dung dịch là đại lượng đặc trưng cho mức độ acid, base của một dung dịch. pH liên hệ trực tiếp với nồng độ H+ thông qua biểu thức sau: . - Trong đó: : là nồng độ của ion có trong dung dịch cần xét. Hơn nữa: - Trong đó: : là nồng độ của ion có trong dung dịch cần xét. Xét thí nghiệm hóa học dưới đây: Người ta muốn xác định độ pH của một dung dịch bằng cách trộn dung dịch H2SO4 có với dung dịch NaOH có . Tính độ pH của dung dịch tạo thành (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Lời giải Phương trình hóa học: H SO 2NaOH Na SO 2H O 2 4 2 4 2 Ban đầu: 0,02 0,06 Phản ứng: 0,02 0,02 Sau phản ứng: 0 0,04 Vì sau phản ứng còn dư NaOHnên dung dịch sau phản ứng mang tính base. Thể tích dung dịch sau phản ứng bằng: V 0,2 0,3 0,5L . 0,04 10 14 Ta có: OH 0,08 M . Suy ra pH log 12,9 . 10 0,5 [OH ] Câu 3: Một ông chủ nhà muốn làm một cái thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà m+ột khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dài ngắn nhất pH log10 H của cây thang bao nhiêu mét để nó đứng dướ i đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham + + khảo hình vẽ )H(/) (làmmol tròn đ Lến chữ số thập phân thứH 2)? 10 14 pH log10 [OH ] OH (mol / L ) OH 0, 2 L n 0,02mol 0,5 L nNaOH 0,06 mol H24 SO Lời giải
13. Gọi góc337,5cm hợp bởi 2thang và mặt đất là 0 . Chiều dài thang là BC BM MC . 2 2,4 Tam giác vuông MHB có BM . sin 1,5 Tam giác vuông MNC cóm 2 MC . cos 2,4 1,5 BC BM MC . sin cos 2,4 1,5 Xét hàm số y với x 0; sinxx cos 2 2,4.cosx 1,5.sin x 2,4.cos33 x 1,5.sin x y , sin2x cos 2 x sin 2 x .cos 2 x 2,4 8 y 0 2,4.cos3 x 1,5.sin 3 x tan 3 x tan x 3 , do 1,5 5 nên x 0,863rad Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy chiều dài thang bé nhất xấp xỉ 5,47 mét. Câu 4: Một nhà xuất bản sách muốn đưa ra thị trường một quyển sách Toán. Biết một trang giấy của một quyển sách Toán có dạng hình chữ nhật. Phần in chữ (hình ảnh) trên trang giấy đó cần diện tích là . Biết lề trên, lề dưới của trang giấy là 3 cm; lề phải, lề trái của trang giấy là 2 cm. Để tiết kiệm chi phí in ấn và giấy nên nhà xuất bản yêu cầu diện tích trang giấy là nhỏ nhất. Khi đó, quyển sách dày 100 tờ bao gồm cả bìa, mỗi tờ (trừ tờ bìa) đều in 2 mặt. + Giá bìa màu: 2.000 đồng/ trang. + Giá in ấn: 2.000 đồng/ .
14. + Giá giấy: 1.300 đồng/ . Với giá gốc (giá sách ban đầu) chỉ chiếm 20% giá bán của sách. Khi đó giá bán mỗi quyển sách tối thiểu là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn đến đơn vị hàng nghìn). Lời giải Gọi ab, cm ab 0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của trang chữ. Suy ra chiều dài và chiều rộng của trang giấy lần lượt là a 6 , b 4 . 337,5 Phần in chữ trên trang giấy đó cần diện tích là nên ta có a. b 337,5 b a 337,5 2025 Diện tích trang giấy là S a 6 b 4 a 6 4 4 a 361,5 . aa 2025 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Sa 2 4 . 361,5 541,5. 337,5cm2 a 2025 Dấu "" xảy ra 4a a 22,5 b 15 . a Vậy để diện tích trang giấy là nhỏ nhất thì chiều dài và chiều rộng của trang giấy lần lượt là 2 28,5cm và . m 19cm - Tổng số trang in ấn là: 100 2 2 196 (trang). 2 2 - Diện tích phần in ấn là: 196337,5 66150 cm 6,615 m . - Số tiền in ấn: 6,6152000 13230 đồng. 40 cm - Tổng số tờ giấy in: 100 2 98(tờ). - Diện tích tờ giấy in: 9828,519 53067 cm2 5,3067 m2 . cm2 - Số tiền gi60ấy:m25,30671300 6898, 71(đồng). Tổng số tiền in ấn 1 quyển sách là: 22000 13230 6898,71 24128,71 (đồng). Vậy giá bán mỗi quyển sách là: 24128,y 715 120643,551 (đồng) (nghìn đồng). y = x2 121 20 Câu 5: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh được thiết kếy =như 20 xhình bên dưới. Khi đó giá tiền mỗi viên gạch được tính bằng giá tiền in20 màu lên nền gạch: Giá tiền in màu 4 cánh hoa là 30.000 đồng trên 1000 , và phần màu trắng (còn lại) là 15.000 đồng trên 1000 . Một nền nhà diện tích lát toàn bộ gạch hoa trên thì số tiền mua đủ số gạch là bao nhiêu triệu đồng. x 20 20 20
15. Lời giải Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau: 20 20 1 2 2133400 2 S 20 x x d x . 20. xx cm . 20 0 3 60 0 3 1600 Diện tích 4 cánh hoa của 1 viên gạch là SS 4. . 1 3 1600 3200 Diện tích phần màu trắng của 1 viên gạch là SS 40.40 1600 . 2133 60 1002 Nền nhà cần số viên gạch là 300 (viên gạch) 1600 Vậy số tiền cần là mua 300 viên gạch là 1600 3200 T 300 30000 15000 9600000(đồng) 9,60 (triệu đồng). 3.1000 3.1000 Câu 6: Từ tập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn một số bất kì trong tập số trên. Xác suất để số chọn ra thỏa mãn: Trong 4 chữ số của số đó chỉ một chữ số xuất hiện đúng hai lần (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Lời giải Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là: abcd ( a,,, b c d ; 09 a , 0 b , c , d 9 ). Số phần tử của không gian mẫu n  9.10.10.10 9000 . Gọi A là biến cố: “Số được chọn có chỉ một chữ số xuất hiện đúng hai lần” TH 1: Số xuất hiện hai lần là số 0. 2 2 Chọn a có 9 cách, vị trí hai số 0 có C3 cách, vị trí còn lại có 8 cách 9.C3 .8 cách. TH 2: Số xuất hiện hai lần là một trong các số: 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Ví dụ: số xuất hiện hai lần là số 1. 2 2 22 Chọn vị trí hai số 1 có C4 cách, hai vị trí còn lại có A9 cách CA49. cách. 2 2 Chọn a 0, hai vị trí số 1 có C3 cách, vị trí còn lại có 8 cách C3 .8 cách. 2;3;4;5;6;7;8;9 2 2 2 Với các số:  xuất hiện hai lần ta làm tương tự. Từ đó ta có: 9. CAC4 . 9 3 .8 2 2 2 2 3888 54 cách. Do đó n A 9. C3 .8 9. C 4 . A 9 C 3 .8 3888 cách. Vậy PA 0,43 . 9000 125