Đề thi chọn học sinh giỏi Cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Thanh Sơn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi Cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Thanh Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT Năm học 2016 - 2017 Môn: Toán Đề thi có 01 trang Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm). a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng: 2 2 A = a2 b2 c2 a b c ab bc ca là một số chính phương. b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: y2 x2 x 6 . Câu 2 (4,0 điểm). 2x2 4 1 1 a) Rút gọn biểu thức S ; 1 x3 1 x 1 x a b c b c a c a b b) Cho các số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện . c a b b 2c 3a Tính giá trị của biểu thức P 4 3 2 . a b c Câu 3 (4,0 điểm). a) Tìm x, y thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 6x2 3xy x 1 y 1 và x2 y2 1 2 b) Giải phương trình: 2x2 x x2 3 2x x2 3 9. Câu 4 (6,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM vuông góc với AB AB3 tại M. Chứng minh rằng BM = . BC2 2. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD; I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. 1 a) Chứng minh rằng: MO = IC ; 2 b) Tính số đo B· MK . Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Hết (Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:................ 0
2. UBND HUYỆN THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD&ĐT Thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016-2017 Môn: Toán 9 Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm). a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng: 2 2 A = a2 b2 c2 a b c ab bc ca là một số chính phương. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình y2 x2 x 6. Đáp án Điểm a)( 2 điểm). 2 2 2 2 2 2 2 0,75 Ta có: A a b c a b c 2 ab bc ca ab bc ca 2 a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 2 0,50 2 a2 b2 c2 ab bc ca 0,50 Vì a, b, c là các số nguyên nên A là một số chính phương. 0,25 b)( 2 điểm). 2 2 2 2 2 2 Ta có y x x 6 4y 4x 4x 1 23 2y 2x 1 23 0,50 2 2 2y 2x 1 23 2y 2x 1 2y 2x 1 23 (1). 0,50 Vì x, y nguyên dương nên 2y + 2x + 1 > 0 và 2y + 2x + 1 > 2y 2x 1. 0,25 2y 2x 1 1 4y 24 x 5 Suy ra: 2y 2x 1 23 2x 2y 2 y 6 0,50 Vậy (x, y) = (5, 6) 0,25 Câu 2(4,0 điểm). 2x2 4 1 1 a) Rút gọn biểu thức S ; 1 x3 1 x 1 x a b c b c a c a b b) Cho các số a, b, c dương thỏa mãn điều kiện . c a b b 2c 3a Tính giá trị của biểu thức P 4 3 2 . a b c 1
3. Đáp án Điểm a)( 2 điểm). ĐKXĐ: x 0; x 1 (*) 0,50 2x2 4 1 1 Với điều kiện (*), ta có: S 0,50 1 x3 1 x 1 x 2 2x2 4 2 2x2 4 2 x x 1 0,50 1 x3 1 x 1 x3 1 x3 2 0,50 x2 x 1 a b c b c a c a b b)( 2 điểm). Từ GT suy ra: 2 2 2 0,50 c a b a b c b c a c a b 0,50 c a b Vì a, b, c dương nên a b c 0 , suy ra a b c 0,50 1 2 3 0,50 Do đó, S = P 4 3 2 5.5.5 125 . 1 1 1 Câu 3 (4,0 điểm). a) Tìm x, y thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 6x2 3xy x 1 y 1 ; x2 y2 1 2 b) Giải phương trình: 2x2 x x2 3 2x x2 3 9. Đáp án Điểm a)( 2 điểm). Từ phương trình thứ nhất suy ra: 6x2 x 1 y 3x 1 0 3x 1 2x 1 y 0 0,50 1 2 2 + Nếu 3x 1 0 thì x (2) y 0,25 3 3 x 0 (2) 2 2 + Nếu 2x 1 y 0 y 2x 1 x 2x 1 1 4 0,50 x 5 - Với x 0 y 1; 0,25 2
4. 4 3 - Với x y 0,25 5 5 1 2 2 1 2 2 4 3  Vậy (x, y) , ; , ; 0,1 ; ,  0,25 3 3 3 3 5 5  b)(2 điểm). Viết lại phương trình: 2 2 2 0,50 x x 3 x x 3 12 0 Đặt t x x2 3 . Ta có phương trình: 2 t 3 t t 12 0 t 3 t 4 0 0,25 t 4 + Giải phương trình x x2 3 3 x 1 0,50 13 + Giải phương trình x x2 3 4 x (loại) 0,50 8 Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 0,25 Câu 4 (6,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM vuông HM vuông AB3 góc với AB tại M. Chứng minh rằng BM = BC2 2. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Gọi I và O theo thứ tự là trung 1 điểm của AB và IC. Chứng minh rằng: MO= IC ; Tính số đo góc BMK. 2 Đáp án Điểm 1.( 2 điểm). * Vẽ hình: C H A B M 3
5. AB2 0,50 Ta có: AB2 BH.BC BH BC Mà: BH 2 BM.AB 0,50 AB4 AB3 BM.AB BM BC 2 BC 2 1,00 2.( 4 điểm). B C O N I K H M A D MH MA a) Ta có:  IM / /BH IM  AC IA IB  0,50 1 Xét AMC có MO là đường trung tuyến MO= IC 0,50 2 b) Gọi N là trung điểm của BH 0,50 - Chỉ ra MN là đường trung bình của HAB 1 - Chỉ ra MN//CK; MN = CK (= CD) tứ giác MNCK là hbh 1,50 2 - Chỉ ra MN  BC N là trực tâm của MBC NC  BM 1,00 Mà NC // MK MK  BM B· MK 900 Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Đáp án Điểm Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 a b c 1 1 b c a 1 1 c a b 1 0,75 ; ; a3 b c 4 a b3 c a 4 b c3 a b 4 c 4
6. ab bc ca 1 1 1 ab bc ca Suy ra: VT + ab bc ca 2 a b c abc 1 1 1 ab bc ca Do đó, 0,25 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2 0,50 ab bc ca 33 (abc) 3 1 1 1 3 Do đó, 0,25 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 0,25 --------------------HẾT-------------------- 5